q-oscillateurs et q-polynômes de Meixner

Lorsque les travaux de recherche ont été réalisés, l'auteur (Julien Gaboriaud) détenait une bourse de maîtrise Alexander-Graham-Bell du Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG). Lors de la rédaction du mémoire, l'auteur détenait une bourse de maîtrise en recherche du Fonds de Recherche du Québec - Nature et Technologies (FRQNT).Une interprétation algébrique des q-polynômes de Meixner est présentée dans ce mémoire. Cette interprétation est obtenue en considérant des représentations de U_q(su(1,1)) sur des états de q-oscillateurs et en observant que les q-polynômes de Meixner apparaissent comme éléments de matrice d'opérateurs de q-pseudorotation unitaires. Ces opérateurs sont construits à partir de q-exponentielles des générateurs de U_q(su(1,1)). Diverses propriétés des polynômes, telles que l'orthogonalité, la relation de récurrence et l'équation aux différences, sont obtenues de façon systématique dans le cadre de la construction. Deux chapitres d'introduction précèdent l'article et discutent des liens entre les polynômes orthogonaux, les structures algébriques (encodant des symétries d'un problème) et les systèmes physiques associés.An algebraic interpretation of the q-Meixner polynomials is obtained in this master's thesis. It is based on representations of U_q(su(1,1)) on q-oscillator states with the polynomials appearing as matrix elements of unitary q-pseudorotation operators. These operators are built from q-exponentials of the U_q(su(1,1)) generators. The orthogonality, recurrence relation, difference equation, and other properties of the q-Meixner polynomials are systematically obtained in this framework. Two introductory chapters on orthogonal polynomials, algebraic structures (encoding symmetry properties) and their connections to the associated physical systems precede the article

Nouvelles perspectives sur les algèbres de type Askey–Wilson

Cette thèse se divise en trois parties qui peuvent être toutes regroupées autour d'une même bannière : l'étude de structures algébriques reliées aux algèbres de type Askey–Wilson. Alors que dans la première partie on s'efforce d'obtenir des interprétations duales (au sens de Howe) de ces algèbres, dans les autres parties on étudie des généralisations de ces algèbres. Des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin, générées par des blocs plus fondamentaux que ceux générant les algèbres de type Askey–Wilson, sont étudiées dans la deuxième partie et des généralisations de plus haut rang des algèbres de type Askey–Wilson sont étudiées dans la troisième partie. Dans la première partie, en invoquant la dualité de Howe, deux interprétations duales sont obtenues pour les algèbres de Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, $q$-Hahn et dual $-1$ Hahn. La façon dont la dualité de Howe opère est rendue explicite par l'examen de processus de réduction dimensionnelle. Un modèle superintégrable 2D de mécanique quantique superconforme dont l'algèbre de symétrie est celle de type dual $-1$ Hahn est également introduit et solutionné. Dans la deuxième partie, des algèbres générées par des opérateurs de contiguïté et d'échelle encodant des propriétés de familles de polynômes sont étudiées. Ces opérateurs appartiennent à la classe des opérateurs de Sklyanin–Heun, qui peuvent être définis sur plusieurs grilles diverses. On découvre qu'ils génèrent des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin. On démontre que les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres ont pour base des familles de para-polynômes. Les grilles linéaires, quadratiques, exponentielles et d'Askey–Wilson sont étudiées et mènent respectivement aux polynômes orthogonaux des familles de para-Krawtchouk, para-Racah, $q$-para-Krawtchouk et $q$-para-Racah. Enfin, la façon dont les polynômes de para-Krawtchouk et d'autres familles de polynômes orthogonaux sont reliées aux représentations tridiagonales du plan de Jordan déformé est présentée. Dans la dernière partie, on explore des généralisations à plus haut rang pour les algèbres de Racah et Askey–Wilson. Pour ce faire, on étudie les réalisations de ces algèbres en termes de Casimirs intermédiaires. Le rôle de la matrice $R$ tressée est élucidé : celle-ci permet de relier divers Casimirs intermédiaires entre eux par conjugaison. Un isomorphisme entre l'algèbre de skein du crochet de Kauffman de la sphère à 4 trous et l'algèbre engendrée par les Casimir intermédiaires dans $U_q(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes 3}$ est présenté et permet d'interpréter de façon diagrammatique la conjugaison par la matrice $R$ tressée mentionnée ci-haut. Finalement, une présentation du centralisateur $Z_n(\mathfrak{sl}_2)$ de $U(\mathfrak{sl}_2)$ dans $U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}$ par générateurs et relations est obtenue et on montre que ce centralisateur est isomorphe à un quotient (obtenu explicitement) de l'algèbre de Racah de plus haut rang $R(n)$.This thesis is divided in three parts which all orbit around the same theme: the study of algebraic structures related to the algebras of Askey–Wilson type. In the first part we obtain two interpretations that are dual in the sense of Howe for the algebras of Askey–Wilson type. Meanwhile, the other two parts are concerned with generalizations of these algebras. In the second part, we study degenerations of the Sklyanin algebra, which are built out of generators that are more fundamental than those of the Askey–Wilson algebra. In the last part, generalizations of the Askey–Wilson type algebras to higher rank are studied. In the first part, dual interpretations are obtained for the Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, $q$-Higgs and dual $-1$ Hahn algebras by invoking Howe duality. The way that this Howe duality operates is made explicit through the examination of a dimensional reduction procedure. A 2D superintegrable superconformal quantum mechanics model, whose symmetry algebra is the one of dual $-1$ Hahn type, is also introduced and solved. In the second part, we study algebras that are generated by contiguity and ladder operators that encode properties of families of orthogonal polynomials. We show that these operators belong to the Sklyanin–Heun class of operators, which can be defined for various grids. We also show how their algebraic relations correspond to those of degenerations of the Sklyanin algebra. Then, we show how various families of para-polynomials support finite-dimensional irreducible representations of these degenerate algebras. From the linear, quadratic, exponential and Askey–Wilson grids, we are respectively led to the para-Krawtchouk, para-Racah, $q$-para-Krawtchouk and $q$-para-Racah polynomials. Later, we connect the para-Krawtchouk polynomials (and other families of orthogonal polynomials) to tridiagonal representations of the deformed Jordan plane. In the final part, we explore higher rank generalizations of the Racah and Askey–Wilson algebras. To that end, their realizations in terms of intermediate Casimir elements are studied. The role of the braided $R$-matrix is understood as follows: it connects various intermediate Casimir elements through conjugation. We obtain an isomorphism between the Kauffman bracket skein algebra of the four-punctured sphere and the algebra generated by the intermediate Casimir elements in $U_q(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes3}$. This leads to a diagrammatic interpretation of the conjugation by the braided $R$-matrix mentioned in the above. Lastly, a presentation of the centralizer $Z_n(\mathfrak{sl}_2)$ of $U(\mathfrak{sl}_2)$ in $U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}$ by generators and relations is obtained and we show that this centralizer is isomorphic to a quotient (which we provide explicitly) of the higher rank Racah algebra $R(n)$

Howe duality and algebras of the Askey-Wilson type: an overview

The Askey-Wilson algebra and its relatives such as the Racah and Bannai-Ito algebras were initially introduced in connection with the eponym orthogonal polynomials. They have since proved ubiquitous. In particular they admit presentations as commutants that are related through Howe duality. This paper surveys these results.Comment: 8 pages, Proceedings for XI. International Symposium Quantum Theory and Symmetries, 1 - 5 July 2019, Montreal, Canad

The rational Sklyanin algebra and the Wilson and para-Racah polynomials

The relation between Wilson and para-Racah polynomials and representations of the degenerate rational Sklyanin algebra is established. Second order Heun operators on quadratic grids with no diagonal terms are determined. These special or S-Heun operators lead to the rational degeneration of the Sklyanin algebra; they also entail the contiguity and structure operators of the Wilson polynomials. The finite-dimensional restriction yields a representation that acts on the para-Racah polynomials.Comment: 16 page